連続の式（質量保存の法則）

気分転換もかねて、こういうのも更新しようとふと思い立ってページを開いたら連続の式だった。

連続の式つまり、質量保存の法則とは、運動しても空気の質量は変化しないことを示したものである。

1. 3辺の長さが$\delta x$、$\delta y$、$\delta z$、つまり体積が$\delta x\delta y\delta z$の直方体を考える。
2. 空気の密度$\rho$、つまり質量が$\rho \delta x\delta y\delta z$だと考える。
3. この直方体が風によって動き、体積が変化しても質量が変化しない。

ことを数式で示すと、

$\begin{align} \dfrac {d\left( \rho \delta x\delta y\delta z\right) } {dt}=0 \end{align}$

になる。(1)式左辺に、微分の積の法則（$\dfrac {d} {dx}\left( fg\right) =f\dfrac {dg} {dx}+g\dfrac {df} {dx}$、今は${f}=\rho$、${g}=\delta x\delta y\delta z$）を用いると

$\begin{align} \rho \dfrac {d\left( \delta x\delta y\delta z\right) } {dt} + \delta x\delta y\delta z\dfrac {d\rho } {dt} =0 \end{align}$

(2)式の両辺を$\rho \delta x\delta y\delta z$で割ると

$\begin{align} \dfrac {1} {\rho }\dfrac {d\rho } {dt}+\dfrac {1} {\delta x\delta y\delta z}\dfrac {d\left( \delta x\delta y\delta z\right) } {dt}=0\end{align}$

(3)式の左辺第二項は、三次元の発散の式（$\dfrac {1} {V}\dfrac {dV} {dt}=\dfrac {\partial u} {\partial x}+\dfrac {\partial v} {\partial y}+\dfrac {\partial w} {\partial z}$、今は${V} = \delta x\delta y\delta z$）なので

$\begin{align} \dfrac {1} {\rho }\dfrac {d\rho } {dt}+\dfrac {\partial u} {\partial x}+\dfrac {\partial v} {\partial y}+\dfrac {\partial w} {\partial z}=0\end{align}$

(4)式が連続の式、質量保存の式と呼ばれる。

一般的に、非圧縮性流体（＝密度がどの時間、どの場所でも一定である流体）である場合、$\dfrac {d\rho } {dt} =0$（密度が時間変化しない）なので、これを(4)式に用いると、

$\begin{align} \dfrac {\partial u} {\partial x}+\dfrac {\partial v} {\partial y}+\dfrac {\partial w} {\partial z}=0\end{align}$

つまり、非圧縮性流体の場合、発散=0ということになる。